Identification of nonparametric instrumental models 

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L’identification des modèles de contrats

Motivation

Nous considérons maintenant l’identification des modèles de contrats. Depuis le papier fondateur d’Akerlof (1970), une attention considérable a été dévolue aux asymétries d’information et à leurs conséquences économiques. Celle-ci s’est tra-duite par l’émergence de la théorie des contrats, qui modélise le comportement d’un agent et d’un principal lorsqu’il existe une différence informationnelle entre eux. Les trois modèles principaux de cette théorie sont le modèle de sélection ad-verse, où le principal ignore le type de l’agent, le modèle d’aléa moral, où l’action de l’agent est inconnue du principal, et le modèle de signal, où le principal dispose d’une information privée qu’il souhaite divulguer à l’agent. Cette théorie s’applique à de nombreux domaines comme la régulation (cf. Laffont & Tirole, 1993), la ta-rification non-linéaire (Wilson, 1993), la taxation optimale (Diamond, 1998), les choix éducatifs (Spence, 1973) etc.
Si les applications empiriques de ces théories sont maintenant nombreuses (voir Chiappori & Salanié, 2002, pour une revue de littérature), il existe encore très peu de résultats d’identification généraux de ces modèles, mis à part le cas des en-chères (voir ci-dessous). Les enjeux sont pourtant importants. Si un modèle n’est pas identifié non paramétriquement, les résultats obtenus, et par conséquent les préconisations de politique publique, peuvent être sensibles à la forme paramétrique retenue. De même, dans la mesure où la présence d’asymétries d’informa-tion, ainsi que leur nature exacte (i.e., asymétries sur le type ou sur l’action de l’agent), ont des conséquences en termes d’intervention publique17, il est impor-tant de savoir si l’on peut tester non-paramétriquement par exemple la présence d’asymétrie d’information ou la sélection adverse par rapport à l’aléa moral. On ne peut en effet distinguer, dans un test paramétrique, ce qui relève de la spécification paramétrique de la validité des hypothèses théoriques sous-jacentes.

Etat de l’art

Une grande partie des résultats d’identification et de testabilité des modèles de contrats a été obtenue sur les modèles d’enchères19. Ceci provient sans doute du fait que les enchères sont un exemple idéal de jeu aux règles claires et simples et dont la théorie microéconomique est relativement balisée. On peut, pour faire simple, distinguer deux modèles théoriques d’enchères. Dans le modèle à valeurs privées (cf. Vickrey 1961), chaque enchérisseur accorde une valeur différente à l’objet. Cette valeur est connue d’eux seulement ; seule la distribution des valeurs individuelles est connaissance commune. Dans le modèle à valeur commune (cf. par exemple Rothkopf, 1969 ou Wilson, 1969), au contraire, l’objet a une valeur intrinsèque (liée à l’exploitation de ce bien ou à un marché de revente par exemple) inconnue des enchérisseurs au moment de l’enchère. Ceux-ci observent uniquement un signal sur la valeur de ce bien. Les signaux reçus sont indépendants d’un joueur à l’autre20.
Il existe par ailleurs quatre principaux types d’enchères21 Dans l’enchère anglaise, un commissaire-priseur augmente le prix du bien jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’un enchérisseur. Le bien est alors acquis par ce dernier au prix atteint. L’en-chère hollandaise est en quelque sorte l’inverse de cette dernière : le prix descend jusqu’à ce qu’un joueur se propose pour la somme correspondante. Dans l’enchère au premier prix, chaque enchérisseur consigne son offre sous un pli scellé. Le bien est acquis par l’enchérisseur ayant indiqué la somme la plus élevée, à ce prix. En-fin, l’enchère au second prix est également une enchère sous plis scellés, mais le prix payé correspond à la deuxième meilleure offre. Notons que les informations disponibles varient d’un type d’enchère à l’autre. Seule l’offre la plus élevée est observée pour les enchères anglaise et hollandaise, alors que toutes les offres sont a priori observables pour les enchères au premier et au second prix.
La recherche a surtout été active sur les enchères à valeurs privées. L’identification du modèle avec enchères au second prix, anglaise ou hollandaise et joueurs neutres au risques (symétriques ou asymétriques) a été établie par Athey & Haile (2002)22. L’identification de l’enchère au premier prix, avec joueurs neutres au risques sy-métriques ou asymétriques a été obtenue quant à elle par Guerre et al. (2000). Ces résultats s’appuient sur l’hypothèse forte de neutralité au risque des joueurs. Guerre et al. (2008) prouvent qu’en l’absence d’une telle hypothèse, le modèle n’est pas identifié en général. L’identification non-paramétrique peut néanmoins être ré-tablie par le biais de variations exogènes, comme celle du nombre d’enchérisseurs.
La recherche a été moins active sur le modèle à valeur commune. Ceci s’explique sans doute par les résultats négatifs de Laffont & Vuong (1996) et d’Athey & Haile (2002). Le premier ne souligne en fait qu’un problème de spécification du modèle : les signaux reçus par les joueurs étant inobservés, le modèle reste inchangé par toute transformation strictement croissante de ces signaux. Une normalisation de ces signaux est donc nécessaire. Athey & Haile (2002) approfondissent ce résultat en montrant que même lorsque cette normalisation est effectuée, le modèle n’est pas identifié en général dans l’enchère anglaise23. Li et al. (2000) se restreignent à un modèle semi-paramétrique d’enchère à valeur commune. Ils supposent que le signal de chaque joueur peut se décomposer comme le produit d’une compo en vente. Les enchères multi-unités ont également été étudiées d’un point de vue empirique (cf. Athey & Haile (2007) pour une revue de littérature).
sante commune (la valeur du bien) et d’une composante idiosyncratique (le signal spécifique). A l’aide de restrictions supplémentaires, ils montrent que leur modèle est identifiable et proposent une procédure non-paramétrique en deux étapes pour estimer la densité des deux composantes. Récemment, Février (2007) a également proposé une alternative non-paramétrique pour une classe particulière de densi-tés conditionnelles du signal. Il obtient l’identification du modèle en réduisant la dimension du problème d’une fonction de deux variables à deux fonctions d’une seule variable.

Les modèles de contrat

Si l’économétrie des enchères a fait l’objet d’une abondante littérature, il n’existe encore que peu de papiers sur les modèles structurels de contrats. Les modèles de régulation structurels ont été estimés notamment par Wolak (1994) dans un cadre paramétrique et par Lavergne & Thomas (2005) dans un cadre semi-paramétrique. Perrigne & Vuong (2004) montrent que le modèle de régulation de Laffont & Tirole (1993) est en fait identifié non-paramétriquement, principalement sous la condi-tion que la fonction de coût a une forme séparable. Plusieurs travaux se sont éga-lement intéressés aux contrats passés entre les employeurs et les employés. Ferrall et Shearer (1999) étudient ainsi l’optimalité des contrats de mineurs de Colombie Britannique, en estimant un modèle structurel paramétrique de sélection adverse24. Paarsch & Shearer (2000) estiment un modèle similaire à partir de données sur des planteurs de bois de Colombie Britannique. Enfin, Perrigne et Vuong (2007) s’inté-ressent à l’identification et à l’estimation d’un modèle de tarification non-linéaire. Ils montrent en particulier que lorsque le programme du principal prend une cer-taine forme, le modèle est identifié non-paramétriquement. Ils appliquent leurs résultats aux contrats passés entre les pages jaunes américaines et les annonceurs.

Résultats nouveaux

Le deuxième chapitre de la thèse présente deux essais indépendants25. Le pre-mier s’intéresse aux enchères à valeur commune sous plis scellés. Il complète ainsi les papiers de Li et al. (2000) et Février (2007) sur le sujet. Nous montrons que l’on peut obtenir l’identification non-paramétrique du modèle si le support de la distribution des signaux conditionnelle à la valeur V du bien varie de façon stricte-ment croissante avec V . Nous renforçons ainsi la propriété de rapport de vraisem-blance monotone – condition imposée par Milgrom & Weber (1982) pour obtenir un équilibre symétrique à l’enchère – qui impose que ce support varie de manière croissante. Nous prouvons tout d’abord qu’en utilisant les enchères pour lesquelles l’écart entre les offres maximales et minimales est maximal, il est possible d’iden-tifier ponctuellement la valeur de g(V ), où g est une transformation strictement croissante inconnue. En utilisant les variations de la troisième offre, on peut alors identifier la distribution du signal conditionnellement à g(V ). Nous montrons en-suite que la distribution de g(V ) peut être obtenue de manière unique à partir de l’équation intégrale reliant la densité des signaux à leur densité conditionnelle et à la densité de g(V ). Enfin, la condition d’équilibre permet dans un second temps d’identifier la transformation g. Nous montrons que ce résultat d’identification peut être obtenu même si les signaux ne sont pas indépendants conditionnellement à V , comme dans le modèle de droits de minerais, et même si l’un des deux extrema seulement du support du signal varie avec V .
La deuxième partie du chapitre étudie le modèle de sélection adverse. Dans la lignée des premiers travaux sur les enchères, cet essai vise à caractériser les ingré-dients principaux permettant l’identification du modèle. Nous considérons donc un modèle simple, inspiré de celui de Laffont & Martimort (2002), mais ayant l’avan-tage, par rapport par exemple aux travaux de Perrigne & Vuong (2004, 2007), de la généralité. Ce modèle principal-agent est défini par la fonction objectif du principal, la fonction d’utilité des agents et la fonction de répartition des types des agents. Nous montrons qu’en général, l’identification non-paramétrique de ce modèle nécessite la connaissance d’au moins une de ces trois fonctions. Ceci peut être le cas dans des modèles de tarification non-linéaire, de contrats financiers ou de régulation.
Nous étudions également le pouvoir identifiant des changements exogènes dans la fonction objectif du principal. Plusieurs papiers empiriques se sont déjà appuyés sur de telles variations pour estimer ou tester des modèles de contrats, mais dans un cadre non-structurel. L’objectif est donc ici de caractériser précisément ce qui est identifié non-paramétriquement à partir de telles variations, à l’instar de plusieurs papiers sur les enchères (cf. par exemple Guerre et al., 2008, Bajari & Hortaçsu (2005), 2005, ou encore Shum & Hu, 2008). Nous montrons qu’avec un changement exogène, le modèle est complètement ou partiellement identifié, suivant que les ta-rifs marginaux des deux contrats se croisent ou non. Si ces transferts marginaux ne se croisent pas, un changement exogène supplémentaire peut permettre d’identifier complètement le modèle.
Enfin, nous appliquons cette méthode au problème d’incitations dans les firmes. Plus précisément, nous testons l’optimalité des contrats passés entre l’INSEE (Ins-titut National de la Statistique et des Etudes Economiques) et ses enquêteurs. Dans cet exemple, le modèle est partiellement identifié en l’absence de structure sur la fonction objectif du principal. Nous estimons non-paramétriquement les bornes des fonctions structurelles et prouvons que ces bornes sont convergentes. En utili-sant la forme de la fonction objectif du principal, nous testons et rejetons dans un second temps l’optimalité des contrats. Nous estimons cependant que l’utilisation de simples contrats linéaires à la place des contrats optimaux n’entraîne une perte que de 10%, ce qui pourrait expliquer pourquoi ces contrats sont si répandus.

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Perspectives

Le premier essai montre que le modèle d’enchère à valeur commune peut être iden-tifié en s’appuyant sur la variation de support des signaux. D’autres stratégies sont a priori envisageables. Une piste intéressante serait d’utiliser des résultats récents sur les modèles à erreurs de mesure comme ceux de Hu & Schennach (2008). Ce modèle a en effet des liens très étroits avec le modèle d’enchère à valeur commune. Les résultats de Hu & Schennach (2008) en particulier ont l’avantage d’être très généraux, même s’ils reposent sur des hypothèses relativement abstraites.
Les applications potentielles du deuxième essai sont a priori nombreuses. Une piste prometteuse serait de déterminer les contrats d’assurance santé optimaux et de tes-ter le modèle de sélection adverse dans ce domaine, en utilisant par exemple les  données du Random Health Experiment (cf. Manning et al. 1987). Une autre application intéressante serait l’estimation structurelle, et si possible le test, du modèle de régulation. Enfin, une voie de recherche importante concerne l’identifi-cation non-paramétrique du modèle d’aléa moral.

Le problème d’identification des effets de pairs

Motivation

Nous abordons maintenant la question de l’identification des modèles d’interaction sociale26. Cette appellation se réfère, au sens large, à des modèles dans lesquels les actions ou les préférences des autres influent sur notre propre utilité (pour une définition plus précise, cf. par exemple Manski, 2000)27. Ces modèles sont parti-culièrement utiles dans l’étude, par exemple, de la réussite scolaire. En effet la composition optimale des classes – classes de niveau ou collège unique pour carica-turer le débat – dépend de l’existence et de la nature des effets de pairs (cf. Cooley, 2006). De même, ces modèles sont utiles pour comprendre – et éventuellement in-fléchir – la consommation de tabac ou d’alcool (cf. Krauth, 2006) ou encore des décisions de départ à la retraite (cf. Duflo0 & Saez, 2003).
Les modèles linéaires, bien que restrictifs, ont été abondamment étudiés car ils permettent de bien appréhender la nature des problèmes que la prise en compte des interactions sociales soulève en termes d’identification. Manski (1993) est le premier à considérer cette question, en s’appuyant sur le modèle suivant :
y = α0 + x0β10 + E(y|g)λ0 + E (x|g)0 β20 + u, E(u|g, x) = g0δ0. (1.4.1)
Dans cette équation, E(y|g)λ0 se réfère aux effets de pairs endogènes, E (x|g)0 β20 correspond aux effets de pairs exogènes et g0δ0 est appelé l’effet contextuel. Manski & Pepper (2000) montre qu’un tel modèle n’est pas identifié. Plus précisément, seuls les paramètres composites α0/(1 − λ0), (β20 + λ0β10)/(1 − λ0), δ0/(1 − λ0) et β10 peuvent être obtenus, sous l’hypothèse supplémentaire que [1, E(x|g), g, x] sont linéairement indépendants. Le résultat n’est donc pas complètement négatif car le paramètre (β20 + λ0β10)/(1 − λ0) qui représente l’effet global des pairs présente un intérêt en termes de politiques publiques. De plus, si l’on suppose qu’il existe une variable ayant un effet direct non nul mais pas d’effet social exogène, alors tous les paramètres du modèle sont identifiés. Toutefois, la condition d’indépendance linéaire entre 1, E(x|g), g et x est assez forte. Ainsi, si x est une fonction de g, si E(x|g) = E(x) ou si E(x|g) est une fonction linéaire de g (ce qui est le cas dès que g est discret et s’écrit comme un vecteur d’indicatrice), le paramètre composite (β20 + λ0β10)/(1 − λ0) n’est plus identifié. La dépendance entre x et g doit donc être « modérée » et non-linéaire.
Lorsque les groupes sont finis, il semble discutable de stipuler une dépendance à l’espérance mathématique et non à la moyenne des individus du groupe. Pour prendre en compte cette critique, Graham & Hahn (2005) proposent la variante suivante du modèle précédent :
yri = xri0β10 + rλ0 + rβ20 + αr + εri, E(xri0εrj) = 0 (1.4.2)
où r désigne l’indice du groupe, i celui de l’individu, nr est la taille du groupe et αr est l’effet fixe du groupe. Ainsi, la variable de groupe est maintenant une collection d’indicatrices. Par construction, xr et 1i∈r ne sont pas linéairement indépendants. Le problème est donc plus difficile que précédemment puisque, avec les notations précédentes, E(x|g) est une fonction linéaire de g. Formellement, l’identification de ce modèle est identique à celle d’un modèle linéaire de panel avec effets fixes et va-riables constantes dans le temps. Une possibilité est de s’appuyer sur une stratégie instrumentale. Ainsi, si l’on dispose d’instruments zr corrélés à xr mais pas à αr, l’équation between permet d’identifier (β10 + β20)/(1 − λ0)28. Cette condition est remplie par exemple si l’affectation dans les groupes est aléatoire (cf. par exemple Sacerdote, 1996, Katz et al., 2001, ou Ludwig et al., 2001, pour des applications empiriques), les variables xr pouvant dans ce cas être utilisées comme instrument. Cependant, même si l’existence d’un instrument est assurée, on ne peut identifier séparément β20 et λ0 sans relation d’exclusion supplémentaire telle que l’existence d’une composante de β20 nulle. Ce résultat renforce donc la conclusion négative de Manski. Un autre problème soulevé par Graham et Hahn est celui de la non-réponse : dès qu’un membre du groupe n’est pas observé, xr est mesuré avec erreur, ce qui peut biaiser l’estimation de (β10 + β20)/(1 − λ0). Ceci sera en particulier le cas lorsque l’affectation dans les groupes est aléatoire et l’instrument utilisé est zr = xr. Ainsi, même dans cette situation a priori favorable, l’estimation du paramètre composite d’effet de pair peut être difficile voire impossible.
Dans les modèles précédents, les résultats d’identification reposent sur des relations d’exclusion qui sont par nature contestables. Récemment cependant, plusieurs pa-piers ont mis en évidence des variantes de ces modèles où, de par l’hétérogénéité des effets d’interactions, les paramètres sont identifiés sans condition supplémentaire. Ainsi, Lee (2007) considère le modèle (1.4.2) où les moyennes sont calculées non pas sur l’ensemble des individus du groupe mais sur le groupe privé de l’individu i29. Cette modification a priori mineure a d’importantes conséquences en termes d’identification. En effet, les paramètres réduits de l’équation within dépendent alors de la taille des groupes. En utilisant la variation de ces tailles de groupes, il est alors généralement possible de retrouver β20 et λ0.30.
L’idée de ne pas considérer l’individu i dans le membre de droite a été récemment généralisée par Bramoullé et al. (2009). Ces auteurs s’appuient sur les variations de groupes de références (c’est-à-dire des groupes influençant directement les in-dividus) pour identifier le modèle. Les modèles précédents supposaient que les in-dividus d’un même groupe étaient influencés par les mêmes personnes ou presque (i.e., le reste du groupe). Mais ceci ne représente qu’une situation possible d’interactions sociales. Dans le cas général, Bramoullé et al. (2009) montrent que le modèle sera identifié dès qu’il existe trois individus (i, j, k) tels que i soit influencé par j, j par k tandis que i n’est pas influencée par k (on parle dans ce cas de triade intransitive). Même lorsque cette condition n’est pas vérifiée, le modèle est presque toujours identifié dès que le réseau n’est pas un groupe (cf. proposition 3 de Bramoullé et al., 2009).
Ainsi, le résultat négatif de Manski n’est pas robuste à l’hétérogénéité des groupes de références individuels. Cependant, le modèle de Bramoullé et al. (2009) repose sur l’hypothèse que la matrice de liens est connue. Il est donc nécessaire de disposer de données très fines sur les relations sociales des individus. La remarque de Manski (1993) quant à la nécessité, pour progresser dans la compréhension des effets de pairs, d’obtenir des données plus précises sur les liens sociaux, semble donc plus que jamais d’actualité.

Modèles non-linéaires

Les restrictions imposées par le modèle linéaire semblent en partie ad hoc. L’ho-mogénéité des effets de pairs, en particulier, est problématique. Il n’y a en effet aucune raison pour que tous les élèves d’une classe réagissent de la même façon à leur environnement, par exemple. De plus, comme nous l’avons souligné pré-cédemment, le modèle (1.4.1) implique que la composition des groupes n’a pas d’influence sur le résultat moyen. Si l’on souhaite rester a priori agnostique sur cette question, il est nécessaire de considérer un modèle plus général. Le modèle linéaire est également inadapté pour considérer des choix discrets où l’influence des pairs est potentiellement importante, comme les décisions de commencer à fumer, de partir à la retraite ou encore de poursuivre ses études.
Cependant, au vu des résultats précédents (et en particulier ceux de Manski) on peut s’interroger sur la pertinence d’éudier des modèles non-linéaires. Si déjà les modèles linéaires ne sont pas identifiés, pourquoi s’intéresser à des situations plus complexes ? En fait, les modèles linéaires tels que (1.4.1) ou (1.4.2) sont identifiés dès que l’on exclut les effet exogènes. Il est donc légitime de se demander si ce résultat subsiste lorsqu’on lève l’hypothèse de linéarité. Nous abordons dans cette partie l’identification du modèle non-paramétrique général, puis un cas particulier de modèle non-linéaire abondamment étudié : le modèle binaire.

Table of contents :

1 Introduction 
1.1 Identification et testabilité en économie
1.2 Sur l’identification de modèles non-paramétriques instrumentaux
1.2.1 Motivation
1.2.2 Etat de l’art
1.2.3 Résultats nouveaux
1.2.4 Perspectives
1.3 L’identification des modèles de contrats
1.3.1 Motivation
1.3.2 Etat de l’art
1.3.3 Résultats nouveaux
1.3.4 Perspectives
1.4 Le problème d’identification des effets de pairs
1.4.1 Motivation
1.4.2 Etat de l’art
1.4.3 Résultats nouveaux
1.4.4 Perspectives
2 Identification of nonparametric instrumental models 
2.1 On the completeness condition in nonparametric instrumental problems
2.1.1 Introduction
2.1.2 Main results
2.1.3 Implications for the nonparametric instrumental regression
2.1.4 Conclusion
2.1.5 Proofs
2.2 A new method for dealing with endogenous selection
2.2.1 Introduction
2.2.2 Identification
2.2.3 Estimation
2.2.4 Monte Carlo simulations
2.2.5 Application
2.2.6 Conclusion
3 Identification of two asymmetric information models 
3.1 Nonparametric Identification of Common Value Auctions Models
3.1.1 Introduction
3.1.2 The Common Value Model
3.1.3 Nonparametric Identification
3.1.4 Extensions
3.1.5 Conclusion
3.2 Identification and Estimation of Incentive Problems : Adverse Selection
3.2.1 Introduction
3.2.2 Adverse selection model
3.2.3 Nonparametric identification
3.2.4 Application
3.2.5 Conclusion
3.2.6 Appendix A : proofs
3.2.7 Appendix B : surplus
3.2.8 Appendix C : discussion on assumption
4 Identification of peer effects using group size variation 
4.1 Introduction
4.2 A theoretical model of social interactions
4.3 Identification
4.3.1 The benchmark : the linear model
4.3.2 The binary model
4.4 Estimation
4.5 Monte Carlo simulations
4.6 Conclusion

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