Population structured by age and phenotype II: adding mutations

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Premiers modèles continus

En 1838, Pierre-François Verhulst reprend les travaux de Malthus dans sa Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement [281]. Contrairement aux approches précédentes, il considère que le nombre d’individus u(t) évolue conti-nument en temps. En particulier, u(t) prend des valeurs non-entière. Cela prend sens si l’on mesure la population avec une unité très grande (par exemple, le millier d’individus) : alors u(t) représente, non plus le nombre d’individus, mais la taille de la population.
Verhulst traduit mathématiquement la loi de Malthus, sous la forme de l’équation différentielle ddtu(t) = au(t).
Comme le modèle de Malthus n’est valable que dans un environnement où les ressources sont abondantes, Verhulst propose un modèle pour prendre en compte un phénomène de saturation induit par la limitation des ressources. Inspiré par les travaux de Quetelet de 1835 [254], Verhulst considère que le taux de croissance a doit décroitre à mesure que la taille de la population augmente. Le choix le plus simple étant de remplacer a par a − bu(t), où b > 0 est une constante, Verhulst remplace l’équation de Malthus par l’équation logistique :
La constante K est souvent appelée la capacité de charge du milieu (carrying capa-city), et représente la taille de population maximale que le milieu peut accueillir à long terme. .
Ces solutions sont dites sigmoïdales, ou de manière informelle, en forme de S, voir Figure A.4b. Si u(0) ≤ K, ces solutions sont croissantes et tendent vers K en temps long. Cela exprime le fait que la population se stabilise.

Équations de réaction-diffusion

Une autre forme particulière de solution est l’onde progressive (voir Figure A.7), telle que u(t, x) = U(ct − x • e), où c ≥ 0 est une vitesse, e ∈ Sn une direction, et : R → R vérifie cU0 − dU00 = f(U).
Elle correspondent à un profil constant se déplaçant à vitesse c dans la direction e. Si f est de type KPP, on peut montrer qu’il existe une (unique) onde progressive de vitesse c si et seulement si c ≥ c0 := 2 f0(0). Si f est de type bistable, il existe une onde progressive pour une unique vitesseq c ? ∈ R , dont le signe est déterminé K par celui de R0 f.
Toujours si f est de type KPP, et si u(t = 0, x) 0 est à support compact, u(t, x) converge vers K en temps long en se propageant dans l’espace à la vitesse c0, c’est-à-dire.
On peut même montrer que la solution converge vers l’onde progressive de vitesse c0 (avec un retard logarithmique), voir par exemple [173].
Les équations de réaction-diffusion sont utilisées dans des domaines d’application variés. De nombreux exemples issues de la biologie sont présentés dans l’ouvrage de Murray [241]. Par exemple, l’article de Skellam [266] modélise, entre autre, la propagation du rat-musqué en Europe centrale, voir Figure A.8. Dans un autre contexte, le célèbre article de Alan Turing [278] modélise la formation de motifs chez les organismes vivants (Figure A.9).

Objet de ce manuscrit

Nous nous intéressons dans ce manuscrit à certains problèmes issus des équations de réaction-diffusion et de leur utilisation dans la modélisation de la dynamique des populations. La première partie traite des solutions stationnaires stables des équa-tions de réaction-diffusion. Dans la deuxième partie, nous nous intéresserons à la modélisation du phénomène de sélection naturelle dans la théorie de l’évolution dar-winienne. Enfin, nous étudieront dans la troisième partie des systèmes d’équations de réaction-diffusion qui interviennent dans des modèles d’épidémiologie, et propo-serons un modèle pour décrire la dynamique des émeutes et de l’agitation sociale.
Figure A.8 – Illustrations issues de l’article de Skellam [266] décrivant la propaga-tion à vitesse constante du rat-musqué en Europe centrale.
Une solution est dite stable si la seconde variation de l’énergie en u est positive (possiblement dégénérée), c’est-à-dire, si u est un miniseur local (au sens faible) de l’énergie. Cette définition sera précisée par la suite. Du point de vue de la modé-lisation, les solutions stables sont les solutions qui ont un « sens physique » : elles représentent les seuls états potentiellement observables d’un système physique.
Notons que si z ∈ R est une racine stable de f, i.e. f(z) = 0 et f0(z) ≤ 0, c’est une solution stable (triviale). Nous appellerons pattern toute solution stable non-constante. Nous nous intéressons en particulier au problème d’existence et de non-existence de patterns. Ce problème met en jeu de manière complexe la géométrie du domaine.
La question de l’existence de patterns intervient dans de nombreux domaines d’application, comme la formation de motifs en biologie [127, 241, 278, 287] ou en chimie [260], les transitions de phase [77], ou la propagation de populations biolo-giques [150, 266].
Notre point de départ est un célèbre théorème démontré par Casten, Holland [86], et indépendamment par Matano [217].
Theorem B.1 ( [86, 217]) Si le domaine Ω est borné et convexe, alors il n’existe pas de pattern à (B.1).
Nous insistons sur le fait que cette conclusion est valable quelque soit f ∈ C1. Ce résultat a initié un foisonnement de développements mathématiques mettant en jeu des notions très profondes d’EDPs et de géométrie.
L’enjeu de notre travail est de tenter de mieux comprendre quels sont les critères géométriques qui assurent l’existence ou la non-existence de patterns. En effet, la lit-térature présente en quelque sorte un fossé entre, d’une part, les domaines convexes, et d’autre part, les domaines haltères (introduits dans la suite).
Nous donnerons dans cette section un critère quantitatif pour la non-existence de patterns dans un domaine quelconque, portant sur le signe de la valeur propre prin-cipale d’un certain opérateur linéaire. Ce critère est, à notre connaissance, le premier de cette nature. Notons également que la littérature traite, d’une part, des domaines convexes bornés, et d’autre part de l’espace entier Rn ; elle ne traite pas, ou peu, des domaines convexes non-bornés quelconques dans Rn. Nous discuterons donc de l’extension de nos résultats aux domaines non-bornés. En outre, les techniques uti-lisées dans la littérature reposent de manière cruciale sur le caractère auto-adjoint de l’opérateur Laplacien. La méthode que nous donnons permet de traiter le cas d’opérateurs non-auto-adjoints. Nous donnons également des résultats de perturba-tions, une formulation asymptotique du théorème de Casten, Holland et Matano, ainsi qu’une estimation de flatness des patterns.
Nous introduisons ici le contenu de la partie I de ce manuscrit, c’est-à-dire les chapitres 1,2,3. Le chapitre 1 étudie l’extension du théorème de Casten, Holland, et Matano dans des domaines convexes non-bornés. Diverses extensions sont proposées au chapitre 2, notamment un critère quantitatif pour la non-existence de pattern. Par cette nouvelle approche, nous retrouvons et étendons les résultats du chapitre 1. Enfin, le chapitre 3 est consacré à l’introduction et l’analyse de la valeur propre principale généralisée dans des domaines non-bornés avec condition de Robin.
Si le domaine Ω est borné, alors λ1 est une valeur propre de l’opérateur linéari-sée, appelée valeur propre principale. Cette valeur propre possède de nombreuses propriétés fondamentales, et peut être définie pour d’autres opérateurs elliptiques (notamment des opérateurs non-auto-adjoints avec conditions de bord de Robin) et pour des domaines non-bornés. Ainsi, la Definition B.2 est assez flexible. Nous reviendrons sur ce point plus tard.

Sujets connexes et état de l’art

Afin de présenter le contexte dans lequel s’inscrit notre travail, nous proposons un état de l’art ainsi qu’une introduction à quelques sujets connexes qui interviennent dans notre étude.
L’article pionnier de Matano [217] propose une étude générale du problème pa-rabolique (B.3) sur un domaine borné. Entre autre, il propose un contre exemple au théorème B.1, c’est-à-dire qu’il construit un pattern à (B.1) pour un certain domaine et une non-linéarité f.
La non-linéarité qu’il considère est de type bistable. Pour fixer les idées, posons f(u) = u(1 − u2),
la non-linéarité d’Allen-Cahn. Le domaine considéré par Matano présente un gou-lot d’étranglement. Ces domaines sont dits de type haltère (dumbbell domains). Par exemple, considérons un domaine Ωε ⊂ Rn, n ≥ 2 formé de l’union de deux convexes disjoints, connectés par un fin couloir cylindrique de rayon 0 < ε 1. Voir Figure B.1.
Matano démontre l’existence d’un pattern, si ε est suffisamment petit. Cela constitue un contre exemple au théorème B.1. L’antagonisme entre les domaines convexes et les domaines haltères illustre bien que le problème d’existence de pat-terns à (B.1) met en jeu, de manière complexe, les propriétés géométriques du do-maine.
L’idée de Matano peut être déclinée pour démontrer l’existence de patterns dans de nombreuses situations. Notons que Ωε peut être vu comme une perturbation d’un ensemble non-connexe Ω0 := D1 t D2 avec D1, D2 deux convexes disjoints. La fonction u0 := 1D1 − 1D2 est un pattern sur Ω0. Le contre exemple de Matano dans Ωε s’obtient en quelque sorte comme une perturbation de u0. Cet argument est rendu rigoureux par Hale et Vegas [172], qui construisent effectivement des patterns comme bifurcations de solutions triviales par perturbation du domaine.
Un cadre théorique plus général pour l’étude du problème parabolique (B.3) dans des domaines haltères est proposé par Arrieta, Carvalho, et Lozada-Cruz [19–21] (voir aussi Gadyl’shin [157]).
Considérons que la quantité u représente une densité de population. Dans un domaine haltère, le déplacement d’un individu d’un bout à l’autre du domaine est entravé par la présence du goulot d’étranglement. Au contraire, dans un domaine convexe, le déplacement des individus peut toujours s’effectuer en ligne droite. Cette observation suggère que l’existence de patterns est liée au fait que la géometrie du domaine entrave la diffusion des individus.
Cette heuristique peut être mise en lumière par certains résultats sur la propaga-tion des ondes progressives. Ces ondes progressives sont des solutions particulières du problème parabolique (B.3) qui consistent en un profil se déplaçant à vitesse constante. Elle modélisent, entre autre, l’invasion d’un territoire par une popula-tion.
Berestycki, Hamel, et Matano [42] étudient l’influence d’un obstacle sur la pro-pagation d’une onde progressive. Ils construisent une solution particulière v(t, x) au problème parabolique (B.3), dans un domaine Ω = Rn\K où l’obstacle K est compact, et la non-linéarité f est de type bistable. Cette solution est dite onde pro-gressive généralisée, car elle est définie pour tout t ∈ R et converge uniformément vers une onde progressive planaire quand t → −∞. La solution v(t, x) converge en temps long vers une solution du problème stationnaire u(x). Les auteurs montrent que, si l’obstacle est étoilé (Figure B.2a) ou axialement convexe (Figure B.2b), il y invasion, c’est-à-dire u ≡ constante. En revanche, si l’obstacle présente un goulot d’étranglement (à la manière d’un domaine haltère, voir Figure B.2c), il y a blocage, c’est-à-dire u 6≡constante. En tant qu’état limite d’un problème parabolique, u est, de facto, une solution stable de (B.1). On peut donc faire une analogie entre ces résultats et le problème d’existence de patterns.
Un problème similaire est considéré par Berestycki, Bouhours et Chapuisat [40] dans des cylindres à section variable. Les auteurs démontrent qu’il y a invasion si le cylindre est suffisamment large et si toutes les sections sont étoilées (voir Fi-gure B.3a). Au contraire, ils démontrent qu’il y a blocage si le cylindre présente un goulot d’étranglement (voir Figure B.3b). Des résultats analogues dans le cas d’une propagation non-locale sont obtenus par Brasseur, Coville, Hamel et Valdinoci [67], Brasseur, Coville [66].
Ces exemples montrent une forte analogie entre le blocage d’onde progressive et l’existence de patterns. En général, le blocage implique l’existence de patterns. Cependant, la réciproque n’est pas vraie. En effet, il n’y a pas blocage si le domaine est étoilé et contient une boule suffisamment grande en son centre ; or ces domaines admettent parfois des patterns, voir Figures B.4a-B.4b.

Un modèle pour les transitions de phase

Un lien extrêmement fécond peut être établi entre les lignes de niveau des patterns et les surfaces minimales. Dans le but d’éclairer les développements qui vont suivre, nous commençons par donner une idée intuitive de comment un pat-tern de (B.1) peut modéliser une transition de phase dans la théorie de van der Waals [280], Cahn et Hilliard [77].
Considérons u comme la densité d’un fluide chimique à deux phases, à l’équilibre dans un domaine Ω. Nous supposons que chaque phase prise séparément est stable. Cette hypothèse suggère que u minimise une énergie avec un potentiel à deux puits. Pour fixer les idées, considérons le potentiel F (u) = (1 − u2)2, de telle sorte à ce que les deux phases du fluide soient représentées par les valeurs ±1. Dans le modèle le plus simple, l’énergie prend la forme suivante :
Ainsi, toute fonction u ne prenant que les valeurs ±1 minimise l’énergie. D’un point de vue physique, ce modèle n’est pas satisfaisant, car l’interface entre les deux phases peut être complètement erratique. Il nous faut alors prendre en compte l’influence des forces de frottement microscopiques à l’intérieur du fluide. Cela se traduit par l’ajout d’un terme cinétique à l’énergie du système :
où ε > 0 est un paramètre d’intensité. La présence de ce terme de pénalisation empêche un minimiseur de sauter instantanément de +1 à −1, et force la transition de phase à se faire sur une longueur caractéristique ε. Tout minimiseur de Eε est alors une solution stable de l’équation d’Euler-Lagrange associée :
Pour ε = 1, nous retrouvons (B.1). Le cas ε 1 s’interprète comme le cas d’un fluide très visqueux. Une autre interprétation est de voir uε comme une solution de −Δuε = ε−2f(uε), et ε−2 comme l’ordre de grandeur de la profondeur des puits de stabilité de ±1. Une troisième interprétation possible est d’effectuer le changement d’échelle x ←→ εx, et de voir une solution de (B.4) comme une solution de −Δuε = f(uε) dans le domaine agrandi ε−1Ω.
Dans une série de papiers pionniers, Modica, Mortola [237] et Modica [234] déve-loppent le cadre théorique de la -convergence pour étudier le comportement d’une suite uε de minimiseurs de l’énergie Eε, quand ε → 0. Modica démontre que, quitte extraire une sous-suite, uε converge L1loc vers 1E − 1Ω\E, où E est un ensemble de périmètre minimal dans Ω.
Le résultat de Modica a ensuite été affiné par Caffarelli et Cordoba [74, 75], qui prouvent que les ensembles de sur-niveau {uε ≥ λ} convergent localement unifor-mément vers E (au sens de la distance de Hausdorff) pour tout λ ∈ (0, 1) fixé. Cela confirme l’heuristique selon laquelle les lignes de niveau des patterns se comportent comme des surfaces minimales de Ω.
Kohn et Sternberg [198] établissent en quelque sorte une réciproque au résultat de Modica : étant donné un ensemble E de périmètre minimal dans Ω, il existe une suite uε de minimiseurs de Eε qui converge L1loc vers 1E − 1Ω\E.
Ainsi, pourvu qu’il existe un tel ensemble E (non-trivial), Kohn et Sternberg démontrent qu’il existe un pattern au problème (B.4) pour ε 1. Déterminer les ensembles E de périmètre minimal dans Ω est un problème assez ancien et en général difficile (lié au problème de Plateau, voir [273] pour un aperçu). Intuitivement, un tel ensemble E doit être tel que ∂E et ∂Ω s’intersectent orthogonalement en des points où Ω est concave, voir Figure B.5. Une surface minimale ∂E est formellement localisée au niveau d’un goulot d’étranglement du domaine.
Un tel ensemble E existe donc typiquement dans les domaines haltères. Ainsi, le pattern de Kohn et Stenberg fait écho à celui de Matano. Au contraire, si le domaine Ω est convexe, il n’existe pas de tel ensemble E ; d’après le théorème B.1, il n’existe pas non plus de minimiseur non-constant de l’énergie. Nous retrouvons ici l’antagonisme entre les domaines convexes et les domaines haltères.
La théorie a été étendue à l’étude des minimiseurs de l’énergie sous contrainte de volume Ω uε = m par de nombreux auteurs, comme Modica [235, 236], Owen [244], Sternberg [270], Kohn et Sternberg [198]. Dans ce cas, il peut exister des patterns (i.e., des minimiseurs non-constants) dans les domaines convexes. On peut montrer cependant que les patterns ne présentent qu’une seule transition de phase entre ±1 dans Ω. Le premier résultat dans cette direction est obtenu par Carr, Gurtin, et Slemrod [85], qui considèrent le problème sur un intervalle, et montrent que les miniseurs sont monotones (pour tout ε > 0). Ce résultat est étendu au cas des cylindres droits par Gurtin et Matano [169]. Enfin, pour un domaine borné convexe quelconque, Sternberg et Zumbrun [271, 272] montrent que l’interface de transition de phase est une surface connexe ; en d’autres termes, il ne peut y avoir qu’une seule transition de phase.
Nous mentionnons également l’extension de cette théorie aux minimiseurs à va-leurs dans Rn (Fonseca, Tartar [154], Baldo [26], Caffarelli, Garofalo, Segala [76] Da-nielli, Garofalo [111]), ainsi que l’étude du problème dans Ω = Rn (Lopes [210,211]) et sur les variétés riemanniennes (Pacard et Ritoré [245]).

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La conjecture de De Giorgi

Comme nous l’avons vu dans la section précédente, de manière heuristique, les lignes de niveau des solutions stables de (B.4) se comportent comme des surfaces minimales dans Ω. En procédant à un changement d’échelle x ↔ εx, c’est-à-dire en zoomant autour d’un point x, le problème (B.4) à la limite ε → 0 revient à considérer l’équation (B.1) dans tout Rn. Ainsi, les lignes de niveau des solutions stables dans Rn devraient se comporter comme des surfaces (de dimension n − 1) minimales de Rn.
Simons [265] démontre qu’en dimension n ≤ 7, toute surface minimale de Rn est un hyperplan. Un contre-exemple en dimension n ≥ 8 a ensuite été proposé par Bombieri, De Giorgi, et Gusti [57]. En ce qui concerne les surface minimales qui, en outre, sont le graphe d’une fonction définie sur Rn−1, on « gagne une dimension » : une telle surface est nécessairement un hyperplan si et seulement si n ≥ 8 (ce problème est connu sous le nom de problème de Bernstein, voir [57, 72, 114, 184]). Cela mène De Giorgi à énoncer la fameuse conjecture suivante :
Conjecture: (De Giorgi) Soit u une solution de −Δu = u − u3 dans Rn, telle que |u| < 1 et ∂xn u > 0. Tout ensemble de niveau de u est un hyperplan, au moins si n ≤ 8.
Le fait que toute ensemble de niveau u est un hyperplan revient à dire que u est plane, i.e. u ne varie que dans une seule direction de l’espace (qui, notons-le, n’est pas connue a priori). Il est alors facile de montrer que u est de la forme tanh x .
Notons également que l’hypothèse ∂xn u > 0 implique a priori que toute ensemble de niveau de u est le graphe d’une fonction définie sur Rn−1.
La conjecture de De Giorgi a donné lieu à une vaste littérature (voir [144,250,262, 286] pour un état de l’art). Il est démontré par Ghoussoub et Gui [160] en dimension n ≤ 2, par Ambrosio et Cabré [10] en dimension n = 3, et par Savin [261, 262] en dimension 4 ≤ n ≤ 8 sous l’hypothèse.
Par ailleurs, un contre exemple est donné par del Pino, Kowalczyk et Wei [115] en dimension n ≥ 9 (ce contre exemple satisfait (B.5)). La conjecture est encore ouverte pour les dimensions 4 ≤ n ≤ 8 sans l’hypothèse (B.5). Notons que les preuves sont, en général, valables pour une classe assez large de non-linéarités, et non uniquement pour la non-linéarité d’Allen-Cahn (voir [7, 72, 262]).
Si on considère le même problème en supposant que la limite dans (B.5) est uniforme en x0 ∈ Rn (problème connu sous le nom de conjecture de Gibbons), alors la conclusion est vraie en toute dimension, comme démontré indépendamment par Farina [140], Berestycki, Hamel et Monneau [43], Barlow, Bass et Gui [39]. Il est également prouvé dans [39, 140] que la conclusion reste vraie si (B.5) est remplacée par l’hypothèse qu’au moins un ensemble de niveau est le graphe d’une fonction globalement Lipschitz définie sur Rn−1.
Nous mentionnons également l’obtention de résultats partiels en dimension 4 et 5 par Ghoussoub et Gui [161], et la preuve de la conjecture en dimension 4 par Figalli et Serra [149] dans le cas du Laplacien fractionnaire.

Table of contents :

I Qualitative Properties of Stable Solutions 
1 Stable solutions of semilinear elliptic equations in unbounded domains
1.1 Introduction
1.1.1 General Framework
1.1.2 Definition of stability
1.2 The results
1.2.1 Convex domains
1.2.2 Symmetry properties
1.2.3 Counterexamples
1.3 Preliminaries
1.3.1 The classical case of bounded convex domains
1.3.2 Non-degenerate stable solutions – proof of Theorem
1.4 Properties of
1.4.1 Existence of a positive eigenfunction
1.4.2 Liouville result, or the simplicity of 1
1.5 Proof of the symmetry properties
1.5.1 Proof of Proposition
1.5.2 Proof of Theorem 1.6 and Corollary
1.6 Proof of Theorem
1.7 Appendix
1.7.1 Generalized principal eigenvalue
1.7.2 On the different definitions of stability
2 Variations on the Casten, Holland, and Matano Theorem 
2.1 Introduction
2.1.1 Framework
2.1.2 The classical proof of Casten, Holland, and Matano
2.2 Extension to non-self adjoint operators
2.2.1 Quantitative criterion for the non-existence of patterns
2.2.2 Perturbation results
2.2.3 Extension to unbounded domains
2.3 Asymptotic results
2.3.1 Statement
2.3.2 Proofs
2.3.3 Other asymptotic symmetries
2.4 Flatness estimate
2.5 Appendix: isolation of stable solutions
3 The generalized Robin principal eigenvalue 
3.1 Definition of the principal eigenvalue
3.1.1 Framework
3.1.2 The principal eigenvalue on bounded domains
3.1.3 Extension to unbounded domains
3.1.4 Existence of a positive eigenfunction
3.2 The self-adjoint case
3.2.1 Rayleigh-Ritz variational formula
3.2.2 The Maximum Principle
3.2.3 The Critical Maximum Principle
3.3 Non-self-adjoint operators
3.3.1 Case of a bounded drift
3.3.2 General case
4 Population structured by age and phenotype 195
4.1 Introduction
4.1.1 The model
4.1.2 Assumptions
4.2 Case without mutations
4.2.1 The eigenproblem
4.2.2 Concentration
4.2.3 Properties of concentration points
4.2.4 Numerical simulations
4.3 Case with mutations
4.3.1 Saturation and stationary problem
4.3.2 The Hamilton-Jacobi equation
4.3.3 Global existence and a priori estimate
4.3.4 The semi-relaxed limits
4.3.5 Uniqueness result
4.4 Appendix
4.4.1 Saturation of the population denstity
4.4.2 The eigenproblem
4.4.3 Convexity of the Hamiltonian
4.4.4 A priori bound on @tU »
5 Population structured by age and phenotype II: adding mutations
5.1 Introduction
5.1.1 Main results
5.1.2 The model
5.1.3 Formal Approach and Method
5.1.4 Outline of the paper
5.1.5 Assumptions
5.2 Definition of the ansatz and a priori estimates
5.2.1 Formal Limiting Eigenproblem
5.2.2 Construction of U » and a priori estimates
5.2.3 Further estimates
5.2.4 Asymptotics
5.3 Proof of the main theorem
5.3.1 Estimates on p »
5.3.2 Selection of the fittest phenotype
5.3.3 Adaptive dynamics
5.4 Construction, estimates, and asymptotics of U »
5.4.1 The eigenproblem
5.4.2 Construction of U »
5.4.3 A priori Lipschitz estimate
5.4.4 Semi convexity
5.4.5 Asymptotics of U »
5.4.6 A posteriori Lipschitz estimate
6 Horizontal Gene Transfer
6.1 Introduction
6.2 Model
6.2.1 Stochastic model
6.2.2 The PDE model
6.2.3 The Hamilton-Jacobi limit
6.2.4 Formal analysis on the Hamilton-Jacobi equation
6.3 Numerical tests
6.3.1 Stochastic model
6.3.2 Numerical scheme for the PDE model
6.3.3 The scheme for the Hamilton-Jacobi equation
6.3.4 Comparison with theoretical analysis
6.4 Conclusions
7 A generalization of the SI epidemic model 283
7.1 Introduction
7.1.1 General Framework
7.1.2 Assumptions and notations
7.2 Main results
7.2.1 The inhibiting case
7.2.2 The general case
7.3 Stability analysis
7.3.1 Stability
7.3.2 Unstability
7.4 Asymptotic speed of propagation
7.4.1 Upper bound
7.4.2 Lower bound
7.5 Transition waves
7.5.1 Non-existence
7.5.2 Existence
8 Modelization of social unrest
8.1 Introduction
8.1.1 The dynamics of Social Unrest
8.1.2 Construction of the model
8.2 General framework
8.2.1 Assumptions and notations
8.2.2 Main results
8.2.3 Numerical simulations
8.2.4 Comparison with previous models
8.3 Analysis
8.3.1 Resumption of calm
8.3.2 Burst of Social Unrest
8.3.3 Geographical propagation
8.4 Tension Inhibiting – dyanmics of a riot
8.5 Tension Enhancing – dynamics of a revolution
8.5.1 Asymptotic behavior of solutions
8.5.2 Transition waves

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