Propagation des ondes sismiques en milieu hétérogène 

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Propagation des ondes sismiques en milieu hétérogène

La coda sismique

L’origine des ondes de coda

Les hétérogénéités de petite échelle ont un impact très puissant sur la propaga-tion des ondes sismiques pour des périodes inférieures à quelques secondes. L’hé-térogénéité se manifeste en particulier par deux phénomènes fondamentaux : (1) L’atténuation des ondes sismiques à l’origine de la décroissance exponentielle de l’amplitude des ondes balistiques avec la distance parcourue ; (2) La génération de la coda sismique par diffusion des ondes sur les hétérogénéités traversées. Afin de visualiser ce qu’est la coda sismique, nous commencerons par présenter un sismo-gramme (Fig 1.1). Le signal représenté provient d’une station sismique du réseau taïwanais, et a été filtré dans la bande de fréquence 1-2 Hz. À 19 s, on observe l’arri-vée directe de l’onde P. L’énergie suivant cette arrivée directe est appelée la “coda” de l’onde P. À 28 s, on observe l’arrivée directe de l’onde S, suivie d’un signal dont l’amplitude décroît régulièrement avec le temps, appelé “coda” de l’onde S. C’est gé-néralement cette coda de l’onde S que l’on désigne lorsqu’on parle de coda sismique. C’est également cette partie du signal qui nous intéresse dans ce travail. La coda apparaît comme un signal aléatoire qui décroît exponentiellement, et peut durer plu-sieurs dizaines de secondes, voire plusieurs minutes. Dans leur papier classique, Aki and Chouet (1975) écartent un certain nombre d’hypothèses sur l’origine de la coda sismique. En particulier, ce signal ne peut être causé directement par la complexité de la source, car la radiation ne dure que quelques secondes au maximum pour les petits séismes crustaux qui montrent pourtant une coda de très longue durée. De même, les hypothèses selon laquelle la coda est générée (1) par des aftershocks, (2) par de la dispersion d’ondes de surface en milieu tabulaire, sont réfutées par l’analyse de données de réseaux denses. On observe en effet que les trains d’ondes constituant la coda arrivent selon des azimuts différents de celui de la source avec des vitesses apparentes correspondant à des ondes de volume. Toute l’énergie de la coda provient bien sûr de la source, mais a atteint la station sismique après avoir suivi un chemin différent de, et par conséquent plus long que, celui des ondes directes. Le fait que la coda soit décrite par une décroissance exponentielle, dans laquelle on n’observe pas de pics secondaires, montre qu’il y a une large distribution de trajets plus longs.
L’ensemble des observations est expliqué de façon naturelle si on conçoit la coda comme un ensemble d’ondes diffusées par des hétérogénéités présentes dans le milieu de propagation. Ainsi, dans la Fig 1.1, les arrivées directes des ondes P et S sont des ondes ayant suivies le trajet direct entre la source et la station, sans avoir été diffusées par des hétérogénéitiés. On les appelle donc ondes cohérentes, dans le sens où elles ont conservé le même paramètre de rai au cours de leur propagation. La coda, en revanche, est composée d’ondes qui ont été diffusées dans différentes directions sur leur trajet. On parle d’ondes incohérentes car elles ne sont plus en phase avec les ondes directes. Plus ces ondes ont été déviées, par un grand nombre de diffusions ou par une modification importante de leur direction de propagation, plus leur énergie arrive tard dans la coda. La théorie du transfert radiatif, introduite ci-dessous dans la section 1.2 permet de modéliser physiquement le transfert d’énergie en ondes cohérentes et incohérentes en milieu hétérogène, et explique la décroissance d’énergie observée dans la coda sismique.
Même s’il existe un consensus sur l’origine de la coda (scattering ou diffusion par des hétérogénéités), une controverse persiste sur le régime de propagation des ondes de coda : s’agit-il de diffusion simple ou de diffusion multiple ? Une des conséquences importantes de la diffusion multiple dans un milieu hétérogène est l’équipartition. Chaque événement de diffusion va entraîner des conversions entre ondes P et S. La diffusion multiple stabilise le rapport d’énergie S/P. Cette stabilisation a par exemple été observée au Mexique par Shapiro et al. (2000). Ainsi, la diffusion multiple fait disparaître la polarisation de la source sismique. L’observation d’un rapport S/P stable est un bon indicateur de diffusion multiple dans le milieu de propagation.
On va maintenant présenter la diffusion causée par les hétérogénéités de petite échelle sur le plan théorique, en partant de la diffusion simple pour arriver jusqu’à la diffusion multiple. On montrera ensuite comment la diffusion génère un champ diffus en plus du champ cohérent, comment les énergies relatives dans ces deux champs définissent différents régimes de transport, et comment la théorie du transfert radiatif permet d’exprimer le transfert d’énergie du champ cohérent au champ diffus. Enfin, on introduira la mesure de l’atténuation sur les ondes cohérentes, et comment la mesure de l’atténuation sur les ondes diffuses permet une interprétation en termes d’hétérogénéités de petite échelle présentes dans le milieu.

Diffusion

S’il y a peu de diffuseurs dans le milieu, on peut supposer que chaque diffuseur ne reçoit que de l’énergie incidente. En d’autres termes, l’énergie n’est diffusée qu’une fois lors de sa propagation dans le milieu. La figure 1.2 illustre la propagation de l’énergie dans un milieu dans le cas de la diffusion simple ou multiple. Dans le cas de la diffusion simple, on peut écrire le champ en utilisant l’approximation de Born :
E(r) = E0 (r) + G0 (r, r , ω)V (r )E0 (r )d3 r (1.2)
Dans un milieu où la densité de diffuseurs est plus importante, l’hypothèse de diffusion simple n’est plus valide. Dans ce cas, le champ qui rencontre un diffuseur est constitué d’une part d’un champ incident et d’autre part d’un champ qui a déjà subi un nombre indéfini de diffusions par d’autres diffuseurs (Fig 1.2). Cela peut s’exprimer simplement par des itérations successives d’événements de diffusion simple. Si on réécrit l’Eq. 1.1 sous une forme plus compacte :
Figure 1.2 – Schéma représentant la propagation de l’énergie, symbolisée par les flèches en pointillés, dans un milieu sur une épaisseur L, dans le cas de la diffusion simple (a), et de la diffusion multiple (b). Les cercles représentent des événements de diffusion.
on peut écrire le champ pour la diffusion multiple comme :

Champ cohérent et champ diffusion

Les équations écrites précédemment décrivent une seule réalisation de milieu hétérogène. Comme on l’a indiqué dans l’introduction, on cherche à déterminer les caractéristiques générales des hétérogénéités dans le milieu, et non pas le détail des caractéristiques d’une réalisation. Ainsi, le champ d’onde sismique, E(r) peut s’écrire sous la forme :
E(r) = E(r) + ED (r) (1.5)
avec E(r) le champ cohérent et ED (r) le champ diffus ou incohérent. Seul le champ cohérent, qui conserve son paramètre de rai tout au long de la propagation, survit lorsque l’on effectue une moyenne sur les réalisations, indiquée par les brackets . Le champ incohérent dépend de la réalisation particulière considérée et s’annule en moyenne. Il est constitué d’ondes qui ont subi du scattering, et qui par conséquent “quittent” le champ cohérent pour former le champ diffus. Pour étudier le processus de transfert de l’énergie cohérente vers l’énergie incohérente, on introduit l’intensité du champ d’onde sismique ED ED∗ . L’intensité relative des champs cohérents et diffus amène à la définition de différents régimes de transport détaillés dans la section 1.1.4. La section 1.1.5 montre comment l’absorption et la diffusion peuvent affecter l’intensité du champ total, ou des champs cohérent et diffus séparément. L’équation de transfert radiatif, détaillée en section 1.2, permet de décrire le transfert d’énergie entre champ cohérent et champ diffus.

Régimes de transport

Afin d’introduire les régimes de transport et les longueurs caractéristiques de la multi-diffusion, nous considèrerons le cas simple d’une onde plane incidente sur un milieu désordonné constitué de diffuseurs discrets (inclusions). La décroissance exponentielle de l’énergie cohérente (ou balistique), connue sous le nom de loi de Beer-Lambert, est de la forme :
Ibal = I0 exp(−ρσextL) (1.6)
où ρ est la densité de diffuseurs, σext est la section efficace d’extinction et L est la distance parcourue par les ondes dans le milieu absorbant et diffusant. σext est une surface effective représentant la probabilité d’extinction, de sorte que σextIinc est la puissance perdue par l’onde incidente. Étant donné qu’une onde sismique est atténuée par diffusion et absorption, la section efficace d’extinction peut être exprimée comme la somme suivante :
σext = σa + σs (1.7)
où σa est la section efficace d’absorption et σs est la section efficace de diffusion. Pour reprendre la définition de la section efficace d’extinction, σaIinc est la puissance perdue par absorption et σsIinc est la puissance diffusée.
On introduit le libre parcours moyen de diffusion ls = (ρσs)−1 . ls représente la distance typique entre deux événements de diffusion. On peut maintenant exprimer l’intensité se propageant sur dz dans la direction Oz dans le milieu atténuant comme :
l’intensité qui a été diffusée entre z et z + dz. On voit clairement dans cette relation comment l’intensité du champ cohérent décroît à cause de la diffusion.
À partir de ls, on peut définir le facteur de qualité de diffusion Qsc qui permet de décrire l’atténuation par diffusion, comme : Qsc = ωls/c, avec c la vitesse des ondes.

Les effets de l’absorption et de la diffusion sur l’énergie

Perte par absorption

Quand un flux d’énergie Pω centré sur une fréquence ω se propage dans un milieu absorbant depuis s sur une distance ds, dans une direction u perpendiculaire à la surface dS, une partie sera absorbée par l’élément de volume dV = dSds. Cette fraction absorbée dP s’écrit :
dPω (s + ds, u, t) = −μaPω (s, u, t)ds (1.9)
où μa est le coefficient d’absorption en m−1 . μa est l’inverse de la, le libre parcours moyen d’absorption, ou longueur d’absorption, défini à partir de la section efficace d’absorption. De la même façon que pour la diffusion, on peut à partir de la définir un facteur de qualité d’absorption Qi tel que : Qi = ωla/c. Cette absorption affecte toutes les ondes se propageant dans le milieu.

Perte par diffusion

L’énergie qui se propageait initialement dans la direction u peut être diffusée dans une autre direction u . Ceci engendre une perte d’énergie supplémentaire en plus de la perte par absorption, et un transfert d’énergie du champ cohérent au champ diffus. De la même façon que pour la perte par absorption, on utilise le libre parcours moyen de diffusion, ou longueur de diffusion, ls, et son inverse, le coefficient de diffusion μs.

Normalisation de la coda

Le contenu d’un enregistrement sismique est influencé par trois types d’effets : les effets de source, les effets de propagation et les effets de site. Pour estimer un effet particulier, il faut s’affranchir des deux autres en passant par une étape de normalisation. Les effets de source permettent d’en savoir plus sur la taille des événements. Les effets de site décrivent l’influence des structures géologiques proches de la station qui enregistre le signal. Les effets de propagation incluent l’effet de la structure de vitesse et l’atténuation le long du trajet des ondes.
La méthode de normalisation de la coda (Sato et al., 2012; Aki, 1980) se base sur l’hypothèse suivante : au bout d’un temps donné tc, l’énergie sismique est uni-formément répartie dans un volume autour de la source. L’idée de cette méthode provient des observations que la longueur d’un sismogramme enregistré par un ré-seau régional est proportionnelle à la magnitude de l’événement, et que pour un séisme local, à un temps supérieur à deux fois le temps d’arrivée de l’onde S, les sismogrammes filtrés dans une bande de fréquence présentent une forme d’enveloppe commune indépendante de la distance source-récepteur, dont l’amplitude varie en fonction de la taille de la source et des effets de site. Si on considère la coda comme une superposition d’ondes diffuses, on peut écrire la puissance de la coda comme une convolution de la source, de la propagation et des effets de site.

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Mesure des effets de site

Au temps tc où l’énergie est uniformément répartie dans un volume contenant la source et deux stations, la différence d’amplitude entre les signaux issus d’une même source enregistrés aux deux stations est due à l’influence des effets de site. On obtient une mesure des amplitudes relatives entre les sites en faisant le rapport des amplitudes mesurées sur chaque signal au même temps. Pour les réseaux de stations, on peut définir les ratios d’amplitude de chaque station en fonction d’une station de référence. Effectuer une moyenne de rapports d’amplitude à différents temps permet d’améliorer la robustesse de cette mesure. Tsujiura (1978) a montré que la coda est sensible à ces effets de site de la même façon que les ondes directes, ce qui constitue par ailleurs une observation supplémentaire que la coda est constituée d’ondes S diffusées. Plusieurs études ont utilisé cette méthode pour mesurer les facteurs d’amplification de site dans différentes régions du monde (Fehler et al., 1992; Kato et al., 1995; Takahashi et al., 2005).

Mesure des effets de source

Pour déterminer la taille des séismes, il faut corriger de la radiation anisotrope de la source et des effets de propagation. Ces corrections sont compliquées à réaliser, souvent par manque de stations, mais la méthode de normalisation de la coda per-met de caractériser les différences de spectres de radiation de sources proches sans ces corrections. Le rapport utilisé ici est le rapport d’amplitudes entre deux signaux générés par deux sources différentes et enregistrés à la même station. Pour un en-semble d’événements, on choisit un événement de référence. On peut ici s’affranchir de la connaissance de la radiation de la source car on se place dans l’hypothèse où l’énergie, au temps tc, est uniformément répartie dans le volume étudié. Cette méthode a par exemple été utilisée par Su et al. (1991) pour distinguer les séismes des tirs de mine et par Hartse et al. (1995) pour étudier la radiation de la source de séismes et d’explosions nucléaires.

Mesure de l’atténuation à partir des ondes cohérentes

Si on veut étudier les effets des variations latérales et de l’hétérogénéité sur la propagation des ondes, il faut s’affranchir des effets de source et de site. Pour cela, on normalise l’amplitude du signal par une moyenne de l’énergie dans une fenêtre à temps long dans la coda. Cette méthode a été introduite par Aki (1980), et a permis d’estimer l’atténuation au Japon et de mettre en évidence la dépendance fréquentielle de l’atténuation. Une fois affranchis des effets de source et de site, les variations d’amplitude d’un signal à l’autre forme une signature de l’atténuation, dont on présente maintenant un type de mesure.
On évoque ici rapidement d’autres méthodes utilisées afin de déterminer l’at-ténuation totale des ondes P et S. On utilise deux exemples, Wang et al. (2010b) et Cheng (2013), qui seront plus détaillés dans le chapitre 3. Wang et al. (2010b) utilisent les spectres de vitesse des ondes pour estimer un temps caractéristique d’at-ténuation t∗ , et en déduire un facteur de qualité d’atténuation Q pour une structure de vitesse donnée. Cheng (2013) déduit l’accélération de l’onde S à partir de l’in-tensité et utilise des spectres d’accélération pour déterminer un facteur de qualité d’atténuation. Les limitations de ces méthodes sont de considérer Q indépendant de la fréquence et de ne pas prendre en compte les effets de site et de source.
Sur les signaux provenant de milieux très hétérogènes, on observe un étalement temporel de l’énergie et que le maximum arrive plus tard dans la coda (1.3). Ce phénomène est associé à la diffusion multiple due aux hétérogénéités de petite échelle dans la lithosphère (Sato, 1989; Saito et al., 2002). Le temps d’arrivée du maximum, que l’on désignera ici par tmax, a par exemple été utilisé pour caractériser la diffusion dans la croûte au Japon (Sato, 1989; Obara and Sato, 1995; Saito et al., 2002; Takahashi et al., 2007, 2009).
La MLTWA est basée sur la théorie du transfert radiatif dans laquelle on suppose un scattering isotrope dans un demi-espace à vitesse constante. Elle utilise le fait que les intégrales d’énergie dans différentes fenêtres dans la coda sont influencées par la force relative de l’absorption et du scattering. On applique cette méthode aux données enregistrées par une station afin d’obtenir une estimation des facteurs de qualité d’absorption et de scattering pour cette station. On utilise donc trois fenêtres (dans le travail présenté dans le chapitre 3, 0-15 s, 15-30 s et 30-45 s après l’onde S directe) dans lesquelles on intègre la densité d’énergie. On corrige d’un facteur géométrique 4πr2 et on normalise ces intégrales par l’intégrale dans une quatrième fenêtre (60-75 s après le temps origine) afin de supprimer les effets de source et de site (Aki, 1980).
L’inversion des données se fait ensuite en modélisant la densité d’énergie grâce à l’expression analytique obtenue par Paasschens (1997). On utilise une méthode de moindres carrés pour comparer les prédictions du modèle et les données. Le résultat est une estimation des valeurs de Qsc−1 et Qi−1 . La Fig 1.4 présente un exemple de données et de résultat du modèle sur une station du réseau taïwanais. On ob-serve une plus large dispersion des données dans la première fenêtre, qui peut être expliquée par l’influence de la radiation de la source. La Fig 1.5 illustre l’effet du scattering et de l’absorption sur l’allure des courbes obtenues par la MLTWA. On observe que l’énergie dans les trois fenêtres augmente avec l’absorption. Cette obser-vation s’explique par le fait que les intégrales d’énergie utilisées sont normalisées par l’intégrale d’énergie dans une quatrième fenêtre. L’absorption diminue notablement l’énergie dans la fenêtre de normalisation, ce qui a pour effet d’augmenter l’énergie normalisée des trois fenêtres de mesure. L’augmentation du scattering rapproche la quantité d’énergie présente dans la première fenêtre des deux autres fenêtres. En effet, en l’absence de scattering, l’essentiel de l’énergie sera issue des ondes directes, et apparaîtra donc dans la première fenêtre. Avec un fort scattering, l’énergie des ondes directes sera diffusée, avec pour effet une quantité d’énergie plus proche entre les trois fenêtres.
Le travail présenté dans Carcol´e and Sato (2010) constitue un bon exemple d’ap-plication de cette méthode au Japon. Une partie de leurs résultats est reproduite en Fig 1.6. La forte densité de stations du réseau Hi-net (une station tous les 20-30 km) leur permet d’obtenir des cartes détaillées des variations latérales des para-mètres d’atténuation. On observe une diminution des valeurs de Qsc−1 et Qi−1 avec la fréquence. Qsc−1 atteint des valeurs supérieures à Qi−1 à 1-2 Hz, mais devient environ 3 fois inférieur à 4-8 Hz. Ce résultat montre que le mécanisme d’atténuation dominant à basse fréquence est le scattering, et l’absorption à haute fréquence, du fait de la dépendance fréquentielle de Qsc−1 et Qi− 1 . Les variations latérales sont d’un facteur 3 à 4 pour Qsc−1 et d’un facteur 2 à 3 pour Qi −1 . Enfin, on donne en Fig 1.7 les estimations des propriétés d’atténuation, d’albédo sismique, de scattering et d’absorption issues de plus de 20 études, compilées dans Sato et al. (2012). Ces études confirment la diminution des valeurs de Qsc−1 et Qi −1 avec la fréquence, et l’augmentation de la part de l’absorption dans l’atténuation totale avec la fréquence. Ces études montrent des variations d’un ordre de grandeur de ces paramètres entre les différentes régions étudiées.

Noyaux de sensibilité

On peut affiner les techniques précédentes en introduisant la sensibilité des ondes de coda à un changement local des propriétés de scattering et d’atténuation (Mayor et al., 2014). On utilise pour cela des noyaux de sensibilité (Fig 1.8).
Sur la Fig 1.8, les deux points indiquent la position de la source et de la station, et le périmètre délimité par la ligne noire correspond à la zone échantillonnée par les ondes à un temps donné, ici deux fois le temps d’arrivée de l’onde S. La vue clas-sique, présentée à gauche de la figure, est de considérer une sensibilité spatialement uniforme des ondes de coda, sans distinction entre scattering et absorption. Les tra-vaux de Mayor et al. (2014) permettent d’obtenir la “vraie” sensibilité des ondes de coda aux variations spatiales de propriété de scattering et d’absorption séparément. Au milieu de la figure, pour le scattering, les zones rouges (bleues) montrent qu’une augmentation de la force du scattering entraîne une diminution (augmentation) de l’amplitude de la coda à un temps donné. Si on compare les sensibilités représentées au milieu et à droite de la Fig 1.8, on constate que des perturbations de scattering et d’absorption induisent des effets très différents sur la coda, ce qui renforce l’idée selon laquelle il est possible de distinguer les contributions de ces deux phénomènes dans la coda.

Table of contents :

Introduction 
Hétérogénéités de petite échelle dans la lithosphère
Description d’un milieu hétérogène
Objectifs
1 Propagation des ondes sismiques en milieu hétérogène 
1.1 La coda sismique
1.1.1 L’origine des ondes de coda
1.1.2 Diffusion
1.1.3 Champ cohérent et champ diffus
1.1.4 Régimes de transport
1.1.5 Les effets de l’absorption et de la diffusion sur l’énergie
1.1.6 Anisotropie de la diffusion
1.2 Théorie du Transfert Radiatif
1.2.1 L’Équation de Transfert Radiatif
1.3 L’approximation de la diffusion
1.3.1 Conditions pour l’approximation de diffusion
1.3.2 L’équation de diffusion
1.4 Méthodes de mesure
1.4.1 Normalisation de la coda
1.4.2 Mesure de l’atténuation à partir des ondes cohérentes
1.4.3 Mesure de l’atténuation à partir des ondes diffuses
1.5 Noyaux de sensibilité
2 Tomographie de la Lune par ondes diffuses 
2.1 Introduction au contexte géologique lunaire
2.1.1 Formation et évolution de la Lune
2.1.2 Résultats des missions Apollo
2.1.3 Avancées majeures post-Apollo
2.2 Introduction à l’étude de l’atténuation des ondes sismiques dans la Lune
2.3 Profil de scattering de la Lune : implications pour les séismes superficiels et la structure du mégarégolithe
2.3.1 Abstract
2.3.2 Introduction
2.3.3 Data processing and error analysis
2.3.4 Model
2.3.5 Inversion procedure and results
2.3.6 Discussion
2.3.7 Conclusion and future works
2.4 Effet des structures géologiques de surface sur la coda sismique
2.5 Effet d’une potentielle couche partiellement fondue sur la coda sismique
3 Atténuation des ondes sismiques à Taïwan 
3.1 Introduction
3.1.1 Contexte sismotectonique
3.1.2 Structure d’atténuation
3.2 Spatial variations of absorption and scattering in Taiwan based on a MLTWA
3.2.1 Abstract
3.2.2 Introduction
3.2.3 Method
3.2.4 Results
3.2.5 Discussion
3.2.6 Conclusion
4 Anisotropie de la diffusion à Taïwan 
4.1 Introduction
4.2 Limites du modèle isotrope
4.3 Modèle
4.3.1 Effet du saut de vitesse
4.3.2 Effet de l’anisotropie du scattering
4.4 Discussion
4.5 Conclusion
4.6 Annexe : Sensitivity kernels via non-analog Monte-Carlo simulations
4.6.1 Canonical example : perturbation of the mean free path
4.6.2 Perturbation of scattering anisotropy
4.6.3 Application to MLTWA
Conclusion

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