Hyperbolic systems in nonconservative form: theory and discretization 

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A Galilean invariant entropy dissipative two-phase flow model for gas-liquid reactive flows

Résumé du chapitre

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la modélisation des écoulements diphasiques à l’aide de lois d’équilibre hyperboliques non linéaires contenant des produits non-conservatifs. Nous commençons l’étude par le modèle non-équilibre de type Baer-Nunziato proposé par Saurel et Abgrall[115] où le modèle est dérivé en utilisant la procédure de moyenne d’ensemble de Drew [44]. Ce modèle évolue dans l’espace et dans le temps sous l’influence des déséquili-bres en vitesse et en pression entre les phases, alors qu’il ne tient pas compte du transfert chimique. Les phases interagissent en raison du terme source et du produit non-conservatif. Ces modèles sans équilibre sont appelés modèles moyennés et les lois d’équilibre qui en ré-sultent sont sous-déterminées. Par conséquent, pour tenir compte de la perte d’information, des conditions de fermeture supplémentaires sont nécessaires qui garantissent également l’hyperbolicité et la cohérence thermodynamique, voir Coquel et al. [34, 35], Gallouët et al. [56], Hantke et Müller [68].
Notre objectif avec ce travail est de proposer un modèle d’écoulements réactifs, qui rend compte des déséquilibres complets dans les processus chimiques, mécaniques et thermody-namiques. Pour cela, nous modifions le modèle proposé dans [115] avec des termes sources supplémentaires afin de satisfaire cet objectif. Il faut mentionner qu’une attention parti-culière est nécessaire lors de l’introduction de nouveaux termes sources dans un modèle existant, car le choix global des termes sources influence grandement le caractère bien posé du modèle. Pour les variables interfaciales, qui apparaissent dans le produit non-conservatif, nous nous appuyons sur les lois de fermeture proposées par Coquel et al. [34], Gallouët et al. [56] qui assurent la positivité des fractions volumiques, des fractions de masse et des éner-gies internes des phases. De plus, nous démontrons que nos modifications conduisent à un modèle invariant par transformations galiléennes qui est également dissipateur d’entropie pour un choix d’une fonction d’entropie convexe.

Short description and outline of the chapter

In this chapter we discuss the modelling of two-phase flows using nonlinear hyper-bolic balance laws that contain nonconservative products. Our starting point is the Baer-Nunziato-like non-equilibrium model proposed in [115] where the model is derived using the ensemble averaging procedure of [44]. The model assumes thermal equilibrium and does not account for chemical transfer, while it evolves in space and time under the influence of the disequilibrium in velocity and pressure between the phases. The phases interact as a result of the source term and the nonconservative product. Such non-equilibrium models are averaged models, and the resulting balance laws are underdetermined. Therefore, in order to account for the loss of information, additional closure conditions are necessary that also guarantee hyperbolicity and thermodynamical consistency [34, 35, 56, 68].
Our aim with this work is to propose a model for reactive flows, which accounts for complete disequilibria in the chemical, mechanical and thermodynamic processes. For this purpose we modify the model proposed in [115] with additional source terms in order to satisfy our objective. It must be mentioned that significant care is needed while introducing new source terms in an existing model, as the overall choice of the source terms greatly influence the well-posedness of the model. For the interfacial variables, that appear in the nonconservative product, we rely on the closure laws proposed in [34, 56] that ensure the positivity of the void fractions and the mass fractions, as well as, the internal energies of the phases. Additionally, we demonstrate that our modifications lead to a Galilean invariant model which is also entropy dissipative the convex physical entropy.
The plan of the chapter is as follows. section 2.2 describes the main mathematical and physical properties of the non-equilibrium model, along with the introduction of new source terms. In section 2.3 we describe the entropy condition for systems with relaxation source terms and demonstrate that the new source terms do not guarantee an entropy dissipative and Galilean invariant model. section 2.4 describes remedies to the model in the form of corrective source terms, that allow us to propose a Galilean invariant entropy dissipative non-equilibrium model. We end this this chapter by summarising our work in section 2.5.

Governing equations of the non-equilibrium model

The non-equilibrium model that we intend to modify is the two-velocity, two-pressure two-phase flow model presented in [115], which is obtained by similar averaging techniques as done for the incompressible case in [44]. The model bears resemblance to the well known Baer-Nunziato model [7], except that here the source terms are responsible for the interaction between a liquid and a gaseous phases. Note that, in what follows, the physical quantities and constants related to the gaseous phase are subscript as 1 while for the liquid phase they have been subscript as 2.

Hyperbolic systems in nonconservative form: theory and discretization

Résumé du chapitre

Les discussions de ce chapitre concernent des EDP hyperboliques non linéaires avec des produits non conservatifs où nous ne tenons pas compte des termes sources, contrairement au Chapter 2. Nous nous intéressons ici au problème de Cauchy pour un système hyperbolique non linéaire non conservatif à une dimension. Nous supposons que (3.1) est strictement hyperbolique et admet des valeurs propres réelles et distinctes avec un ensemble complet de vecteurs propres.
Il est bien connu que les systèmes hyperboliques non linéaires peuvent conduire à la rup-ture des solutions classiques en temps fini, même pour des conditions initiales suffisamment lisses. On s’appuie alors sur des solutions faibles qui sont définies au sens des distributions. Cependant, dans le cas de systèmes non conservatifs, le cadre standard des solutions faibles, découlant des lois de conservation, ne s’applique pas car il est difficile de définir de manière significative le produit non conservatif au point de discontinuité. De plus, les systèmes hyperboliques sont souvent obtenus comme la limite de viscosité nulle d’une régularisation parabolique. Par conséquent, le choix de la famille de chemins dépend du profil visqueux. Cependant, les solutions faibles ne garantissent pas l’unicité, c’est pourquoi une contrainte supplémentaire sous la forme d’une condition d’entropie est introduite, qui permet de sélec-tionner des solutions faibles physiquement pertinentes. En conséquence, dans ce chapitre, nous rappelons la notion de solutions faibles dans le contexte des systèmes hyperboliques non-conservatifs: [40, 90], où le produit non-conservatif est défini comme une mesure de Borel bornée à une discontinuité basée sur une famille de chemins de Lipschitz reliant les états gauche et droit. Nous montrons ensuite l’existence de la solution de [90] pour les données initiales de Riemann et commentons la condition d’entropie.
Le système non conservatif décrit dans ce chapitre est discrétisé à l’aide de la méthode des éléments spectraux de Galerkin discontinue (DGSEM)[57, 59, 86] avec les règles de quadrature de Gauss-Lobatto, qui sont basées sur la collocation des points d’interpolation. Nous décrivons ici le cadre DGSEM, ainsi que sa propriété de sommation par parties (SBP), de manière très détaillée ; en conséquence, ce chapitre sert également de base à la conception des schémas numériques réalisés dans cette thèse. Nous rappelons également les résultats obtenus dans [108] pour les systèmes non-conservatifs généraux et décrivons la notion de flux numériques qui conservent et ceux qui dissipent l’entropie [24]. Le cadre DGSEM permet de proposer un schéma semi-discret pour le problème de Cauchy (3.1). Nous modifions l’intégration sur les éléments cellulaires en utilisant les opérateurs SBP et nous remplaçons les flux physiques par des flux conservant d’entropie tout en appliquant des flux dissipant d’entropie à l’interface. Cela permet de prouver une inégalité semi-discrète pour l’entropie moyenne de la cellule, tout en maintenant une précision d’ordre élevé.
Nous décrivons également le schéma d’intégration temporelle qui sera utilisé dans tous les chapitres à venir. Dans cette thèse, nous nous appuyons sur des schémas de Runge-Kutta explicites préservant la stabilité [63, 121] qui sont définis comme des combinaisons convexes de schémas du premier ordre et conservent leurs propriétés sous certaines conditions sur le pas de temps. Il faut noter que ces schémas d’intégration temporelle sont particulière-ment utiles lors de l’analyse du schéma entièrement discret car ils permettent d’imposer des conditions sur les paramètres numériques qui garantissent la positivité de la solution.

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Short description and outline of the chapter

The discussions in this chapter involve nonlinear hyperbolic PDEs with nonconservative products where we disregard the source terms, unlike Chapter 2.
Here we are interested in the Cauchy problem for a one-dimensional nonlinear noncon-servative hyperbolic system of the form ∂ u + ∂ f u + c u ∂ u 0, R, > 0, (3.1a) u ,0 = u0 , ∈ R, (3.1b)
where u , = ∈ ∗ ⊂ R , f u is the state vector that takes values in an open convex set u f u c ∗u∋ ↦ ∈× R is the flux function and c u ∂ u is the nonconservative product with → R . Note that both f u and c u are assumed to be smooth.
The ∗system (3.1a) can be expressed in a quasilinear form ∂ u + A u ∂ u = 0. (3.2)
where A u = ∇ uf u + c u ∗ ∋ u ↦ A u ∈ R is a smooth, locally bounded map that cannot be considered as the Jacobian matrix due to the presence of the nonconservative product. Here we assume that (3.2) is strictly hyperbolic and A u admits real and distinct eigenvalues with a complete set of eigenvectors.
It is well known that nonlinear hyperbolic systems may lead to breakdown of classical solutions in finite time, even for sufficiently smooth initial conditions. We then rely on for weak solutions that are defined in the sense of distributions. However, in the case of nonconservative systems the standard framework of weak solutions, arising from conservation laws, does not apply as it is difficult to meaningfully define the nonconservative product at the point of discontinuity. Additionally, hyperbolic systems are often obtained as the vanishing-viscosity limit of a parabolic regularization. Therefore the choice of family of paths depends on the viscous profile. However, weak solutions do not guarantee uniqueness therefore an additional constraint in the form of an entropy condition is introduced, that allows to select physically relevant weak solutions. As a result in this chapter we recall the notion of weak solutions in the context of nonconservative hyperbolic systems [40, 90], where the nonconservative product is defined as a bounded Borel measure at a discontinuity based on a family of Lipschitz paths connecting the left and right states. Then we show existence of solution from [90] for Riemann initial data and comment on the entropy condition.
The nonconservative system described in this chapter is discretized using the discontinu-ous Galerkin spectral element method (DGSEM)[57, 59, 86] with Gauss-Lobatto quadrature rules, that are based on the collocation of interpolation points. Here we describe the DGSEM framework, along with its summation-by-parts (SBP) property, in extensive detail as a re-sult this chapter also acts a foundation for the design of numerical schemes performed in this thesis. We also recall the results obtained in [108] for general nonconservative systems and describe the notion of entropy conservative [24] and entropy stable fluxes. The DGSEM framework allows to propose a semi-discrete scheme for the Cauchy problem (3.1). We mod-ify the integration over cell elements using the SBP operators and replace the physical fluxes with entropy conservative fluxes while applying entropy stable fluxes at the interface. This allows to prove a semi-discrete inequality for the cell-averaged entropy, while maintaining high-order accuracy.
We also describe the time integration scheme that will used in all forthcoming chapters. In this thesis, we rely on strong stability-preserving explicit Runge-Kutta schemes [63, 121] which are defined as convex combinations of first-order schemes and keep their properties under some condition on the time step. It must be noted that these time integration schemes are especially useful when analysing the fully discrete scheme as they allow to impose con-ditions on the numerical parameters that guarantees the positivity of the solution.
This chapter is organised as follows. In section 3.2, we recall the definition of weak solutions for nonconservative systems from [90]. Then, in section 3.3, we demonstrate that weak solutions are dependent on the viscous profile and expose the entropy condition for nonconservative systems as an admissibility criterion to select the physically relevant so-lutions. In section 3.4 we introduce the DGSEM framework and the semi-discrete scheme. section 3.5 introduces the notion of entropy conservative and entropy stable numerical fluxes in fluctuation form and highlights the properties of the semi-discrete scheme. We end this chapter by describing the strong-stability preserving explicit Runge-Kutta time integration in section 3.7.

Table of contents :

1 Introduction 
1.1 Motivation
1.2 Publications
2 A Galilean invariant entropy dissipative two-phase flow model for gas-liquid reactive flows 
2.1 Short description and outline of the chapter
2.2 Governing equations of the non-equilibrium model
2.3 Entropy in dissipative relaxation
2.4 A corrected model
2.5 Summary
3 Hyperbolic systems in nonconservative form: theory and discretization 
3.1 Short description and outline of the chapter
3.2 Notion of weak solutions
3.3 Existence of solution and the entropy condition
3.4 Numerical solution
3.4.1 Semi-discrete form
3.5 Numerical fluxes
3.5.1 Properties of the semi-discrete scheme
3.6 DGSEM in multiple space dimensions
3.7 Time integration
4 An entropy stable high-order discontinuous Galerkin spectral element method for the Baer-Nunziato two-phase flow model 
4.1 Short description and outline of the chapter
4.2 The Baer-Nunziato model
4.3 Numerical fluxes for the Baer-Nunziato model
4.3.1 Entropy conservative fluxes
4.3.2 Entropy stable fluxes
4.4 Properties of the high-order DGSEM scheme for the Baer-Nunziato model
4.4.1 Kinetic energy preservation
4.4.2 Positivity of the numerical solution
4.4.3 A posteriori limiters
4.5 Numerical tests in one space dimension
4.5.1 Advection of density and void fraction waves
4.5.2 Riemann Problems
4.6 Numerical tests in multiple space dimensions
4.6.1 Advection of density and void fraction waves
4.6.2 Entropy conservation
4.6.3 Kinetic energy preservation
4.6.4 Shock-bubble interaction
4.7 Summary
5 A contact preserving and entropy stable DGSEM for multicomponent flows 
5.1 Short description and outline of the chapter
5.2 The gamma model
5.3 Numerical fluxes for the volume integral
5.3.1 Contact preserving numerical fluxes
5.3.2 Entropy conservative numerical fluxes for the gamma model
5.3.3 A troubled-cell indicator based selection of numerical fluxes
5.4 Interface fluxes for the gamma-model
5.4.1 HLL Riemann solver
5.4.2 HLLC Riemann solver
5.4.3 Properties of the HLLC solver
5.5 Properties of the DGSEM scheme
5.6 A posteriori limiters
5.7 Numerical tests
5.7.1 Advection of density wave
5.7.2 Advection of a material discontinuity
5.7.3 The Lax problem
5.7.4 Gas-gas shock-interface interaction problem
5.7.5 Gas-water shock-interface interaction problem
5.7.6 Advection of a Helium bubble in air
5.7.7 Shock in air interacts with a Helium bubble
5.7.8 Strong shock in air interacts with a Hydrogen bubble
5.8 Summary
6 Conclusion and perspectives 
6.1 Conclusion
6.2 Perspectives
7 Conclusion générale

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